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Tenseur des contraintes et tenseur des taux de déformation

Tenseur des contraintes

Dans un fluide visqueux, les forces de contact entre les éléments fluides comprennent à la fois les forces de pression et des cissions dues à la viscosité. Les cissions dépendent du taux de déformation des particules de fluide. On admet qu'elles résultent d'échange de quantité de mouvement à l'échelle moléculaire entre des particules ayant des vitesses différentes.

Le tenseur des contraintes \(\overline {\overline{\sigma}}\) peut se décomposer en la somme d'un tenseur sphérique \(\overline{\overline{\sigma}}_S\) et d'un tenseur déviateur \(\overline{\overline{\sigma}}_\delta\) de trace nulle.

\(\overline {\overline{\sigma}} = \overline {\overline{\sigma}}_S + \overline{\overline{\sigma}}_\delta\)

Tenseur des contraintes

\[\displaystyle \overline {\overline {\sigma}} = \left( \begin{array} {ccc} - P & 0 & 0 \\ 0 & - P & 0 \\ 0 & 0 & - P \end{array} \right) + \left( \begin{array} {ccc} \sigma_{11} + P & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} + P & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} + P \end{array} \right) \Longrightarrow \mbox{ Tenseur des contraintes visqueuses}\]

Cette relation peut se noter :

\[\overline {\overline \sigma} = - P \overline {\overline \delta} + \overline {\overline \sigma_{\delta}} \mbox{ avec } \overline {\overline \delta} \mbox { tenseur unité}\]

Dans le cas du fluide parfait, σij = 0 et σii = -P, le tenseur des contraintes se réduit donc au premier terme.

Forces de contact

La résultante des forces de contact est :

\[\overrightarrow {T} = \oiint_S \overline {\overline \sigma} \overrightarrow{n} d S\]

Soit en utilisant le théorème de la divergence :

\[\overrightarrow {T} = \iiint_S \mbox{div} ( \overline {\overline \sigma}) d \tau\]

On obtient par unité de volume :

\[\frac{d \overrightarrow{T}}{d \tau} = \overrightarrow{\nabla} \overline {\overline \sigma}\]

La résultante des forces de contact est égale à la divergence du tenseur des contraintes

Tenseur des taux de déformation

Ce tenseur a été introduit en cinématique

\[\displaystyle \overline {\overline{D}} = \frac{1}{2} \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial u}{ \partial x} + \frac{\partial u}{ \partial x} & \frac{\partial v}{ \partial x} + \frac{\partial u}{ \partial y} & \frac{\partial w}{ \partial x} + \frac{\partial u}{ \partial z} \\ \frac{\partial v}{ \partial x} + \frac{\partial u}{ \partial y} & \frac{\partial v}{ \partial y} + \frac{\partial v}{ \partial y} & \frac{\partial v}{ \partial z} + \frac{\partial w}{ \partial y} \\ \frac{\partial w}{ \partial x} + \frac{\partial u}{ \partial z} & \frac{\partial w}{ \partial y} + \frac{\partial v}{ \partial z} & \frac{\partial w}{ \partial z} + \frac{\partial w}{ \partial z} \end{array} \right)\]

Dans cette expression, u, v, w sont les composantes de la vitesse dans un référentiel O, x, y, z

Remarque

la trace de ce tenseur est égale à la divergence de la vitesse (div \(\overrightarrow{V}\))