Applications

Rappels

D'un point de vue Lagrangien, le théorème des quantités de mouvement s'écrit :

(la dérivée du torseur des quantités de mouvement d'un domaine de fluide que l'on suit dans son mouvement est égale à la somme des forces extérieures appliquées au domaine).

\[\frac{d}{d t} [ \rho \overrightarrow{V}]_{\tau} = [ \rho \overrightarrow{F}]_{\tau} + [ \overrightarrow{T}]_S\]

Cette égalité entre deux torseurs conduit naturellement à deux égalités vectorielles : l'égalité des résultantes générales des torseurs et l'égalités des moments résultants des torseurs. Ces égalités fournissent les équations dynamiques et les équations de moment.

Égalité des résultantes générales

\[\frac{d}{d t} \iiint_{\tau} \rho \overrightarrow{V}d \tau = \iiint_{\tau} \rho \overrightarrow{F} d \tau + \oiint _S \overrightarrow{T} d S\]

Égalité des moments résultants

\[\frac{d}{d t} \iiint_{\tau} \overrightarrow{O M} \wedge \rho \overrightarrow{V} = \iiint_{\tau} \overrightarrow{O M} \wedge \rho \overrightarrow{F} d \tau + \oiint _S \overrightarrow{O N} \wedge \overrightarrow{T} d S\]

M est un point dans le volume, N est un point sur la surface, O est un point fixe dans le repère galiléen (par exemple l'origine)

Le projection de la première de ces relations dans le repère donnera les équations dynamiques locales.