Applications

Écoulement visqueux incompressible autour d'une sphère immobile

Hypothèses : Écoulement permanent, fluide incompressible, on néglige les effets de la pesanteur sur l'écoulement.

\(\rho\) : masse volumique

\(\mu\) : viscosité dynamique

\(v\) : viscosité cinématique

\(\overrightarrow{V_0}\) : vitesse loin de l'obstacle

Nous procédons comme précédemment : écriture de l'équation de Navier Stokes :

\[\rho \frac{D \overrightarrow{V}}{d t} = \mu \Delta \overrightarrow{V} - \overrightarrow{grad} P\]

Équation réduite

On utilise les variables réduites suivantes :

\(P' = \frac{P}{\rho V_0^2} ; z' = \frac{z}{a} ; r' = \frac{r}{a}\)

Les vitesses sont rapportées à V0.

L'équation réduite s'écrit donc sous forme vectorielle :

\[\frac{d \overrightarrow{V'}}{d t'} = - \overrightarrow{grad} P' + \frac{1}{R} \Delta \overrightarrow{V'}\]

Comme dans l'exemple précédent, le seul coefficient sans dimensions apparaissant dans les équations est le nombre de Reynolds. Dans une étude sur maquettes et prototypes, la seule condition de similitude entre les équations est donc l'égalité des nombres de Reynolds.

Détermination de la somme F des forces de frottement appliquées à la sphère

On considère la grandeur réduite associée à F suivante : \(\frac{F}{\rho V_0^2 a^2}\)

Ce qui donne comme condition de similitude :

\[(\frac{F}{\rho V^2_{0} a^2}) \mbox{ maquette} = f (R) = (\frac{F'}{\rho' V'^2_{0} a'^2}) \mbox{ prototype}\]

L'étude expérimentale est simplifiée puisque le seul paramètre intervenant dans le problème est le nombre de Reynolds.