Applications

Cas des fluides pesants à la surface libre : nombre de Froude

La procédure pour écrire les équations sans dimension est la même que précédemment, on obtient :

\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{d u'}{d t'} = - \frac{\partial P'}{\partial x'} + \frac{1}{R} \Delta u' \\ \frac{d v'}{d t'} = - \frac{\partial P'}{\partial y'} + \frac{1}{R} \Delta v' \\ \frac{d w'}{d t'} = - \frac{\partial P'}{\partial z'} + \frac{1}{R} \Delta w' - \frac{1}{F} \end{array} \right.\]

On voit apparaître deux nombres sans dimension :

le nombre de Reynolds R et

le nombre de Froude F : \(F = \frac{V^2}{Dg}\)

Avec g l'accélération de la pesanteur et D une grandeur caractéristique de l'écoulement.

Dans cet exemple, les forces de gravité ont été ajoutées à l'équation de Navier Stokes. L'écriture de l'équation sans dimension, applicable à la maquette et au prototype fait apparaître deux nombres sans dimension : le nombre de Reynolds et le nombre de Froude. Rappelons que le nombre de Reynolds est proportionnel au rapport entre les forces d'inertie et les forces de viscosité. Tandis que le nombre de Froude est proportionnel au rapport entre les forces d'inertie et les forces de pesanteur. Donc pour les écoulements à surface libre, dans une étude sur maquette et prototype, on obtient 2 conditions de similitude : l'égalité des nombres de Reynolds et l'égalité des nombres de Froude.

Pour retrouver ce résultat, il est conseillé de faire l'Exercice 1

Interprétation du nombre de Froude :

\(F = \frac{\frac{\rho V^2}{D}}{\rho g}\) Ce qui représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces de pesanteur

Remarque

1- Certains auteurs écrivent le nombre de Froude sous la forme : \(F = \frac{V}{\sqrt{Dg}}\)

2- dans le cas d'un fluide pesant visqueux, les conditions de similitude s'écrivent :

\[\left\{ \begin{array}{l} (\frac{\rho V D}{\mu}) maquette = (\frac{\rho'V' D'}{\mu'}) prototype\\ (\frac{V^2}{D g}) maquette = (\frac{V'^2}{D'g}) prototype \end{array} \right\} \]
\[ \fbox{$ \begin{array}{l} \mbox{ si } (\frac{\mu}{\rho}) maquette = (\frac{\mu'}{\rho'}) prototype \\ \mbox{ Alors } (D')maquette = (D')prototype \mbox{ il n'y a donc pas de maquette possible } \end{array} $}\]