Applications

Méthode de Raleigh

Pertes de charge dans une conduite

Données : V : vitesse moyenne de l'écoulement, H1 charge en x=0, H2 charge en x=L, ks diamètre moyen des aspérités des parois, D diamètre de la conduite, ρ masse volumique et μ viscosité dynamique.

But : déterminer la perte de charge linéaire : j = (P1 – P2) / L

Méthode

a- inventaire de tous les paramètres en fonction des unités fondamentales : m, kg, s, K

\[\begin{array}{l} j=\frac{P_1-P_2}{L} \longrightarrow kg.m^{-1}.s^{-2} \\ L; D; K_S \longrightarrow m \\ V \longrightarrow m^{-1} \\ \rho \longrightarrow kg.m^{-3} \\ \mu \longrightarrow kg.m^{-1}.s^{-1} \end{array}\]

b- Recherche de l'expression de j

\[j=k^x k^y_S V^z \rho^\alpha \mu^\beta \mbox{ (k sans dimension)}\]

(k sans dimension)

Nous avons 5 paramètres et 3 unités fondamentales (kg, m,s); l'analyse dimensionnelle donne :

Par identification, on obtient :

\[\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 1 \\ - 2 = x + y + z - 3 \alpha - \beta \\ - 2 = - z - \beta \end{array} \mbox{ (3 équations, 5 inconnues)} \right.\]

Afin, d'exprimer les grandeurs réduites, on écrit 3 inconnues en fonction des deux autres, soit :

\[\left\{ \begin{array}{l} \alpha = 1 - \beta \\ -z = 2 - \beta \\ x = - (1 + y + \beta) \end{array} \right.\]

Expression de la perte de charge linéaire

On peut donc exprimer la perte de charge linéaire sous la forme :

\[j = k \frac{k^y_S V^{2- \beta} \rho^{1- \beta} \mu^\beta}{D^{1 + y + \beta}}\]

Pour mettre en évidence les grandeurs réduites et les conditions de similitude, écrivons l'expression précédente sous la forme :

\[j = k \left(\frac{k_S}{D}\right)^y \frac{\rho V^2}{D}\left(\frac{\mu}{\rho V D}\right)^\beta\]

Conditions de similitude

Dans l'expression précédente, on reconnaît :

\[\frac{k_S}{D} \mbox{ la rugosité relative et } (\frac{\mu}{\rho VD}) = \frac{1}{R} \mbox{ l'inverse du nombre de Reynolds }\]

Le coefficient de perte de charge s'écrit :

\[\lambda = \frac{j}{\frac{\rho V^2}{2 D}} = f(\frac{K_S}{D}, \frac{1}{R})\]

Dans la recherche de l'expression du coefficient de perte de charge dans les conduites, l'étude sur maquettes et prototypes donne 2 conditions de similitudes : l'égalité des rugosités est relative, et l'égalité des nombres de Reynolds. Il faut toutefois remarquer que la méthode de Rayleigh ne fournit que la forme du phénomène physique étudié. Seule l'expérience dit si cette loi existe.

Dans une étude sur maquette et sur prototype, les conditions de similitude sont donc les suivantes :

\[\begin{array}{l} \mbox{Égalité des rugosités relatives } (\frac{k_S}{D})_{maquette} = (\frac{k_S}{D})_{prototype} \\ \mbox{Égalité des nombres de Reynolds } R_{maquette} = R_{prototype} \end{array}\]

La méthode de Rayleigh ne fournit que la forme de la loi du phénomène étudié, seule l'expérience dit si cette loi existe.

AttentionDifficulté

Il ne faut oublier aucun paramètre intervenant dans le phénomène étudié

(l 'étude physique doit être minutieuse)

Pour retrouver ce résultat, il est conseillé de faire l'Exercice 2.