Applications

Le nombre de Reynolds

Perte de charge linéaire

Hypothèses : conduit cylindrique de diamètre D. On étudie l'écoulement permanent d'un fluide incompressible visqueux. L'écoulement est suivant z.

Par définition la charge totale de l'écoulement est :

\[P + \rho g z + \frac{\rho w^{-2}}{2} \mbox{ en }J.m^{-3}\]

Cette charge (l'énergie par unité de volume) diminue le long d'une ligne de courant.

\[\frac{d (P + \rho g z + \frac{\rho w^{-2}}{2} )}{d z} = \frac{d P*}{d z} \mbox{ avec } P* = P+ \rho g z\]

La perte de charge est en général exprimée en mètre soit :

\[\frac{d H}{d z} = \frac{d(\frac{P}{\rho g} + \frac{\overline{w}^2}{2 g} + z)}{d z} = \frac{1}{\rho g} \frac{d P*}{d z}\]

Cas de l'écoulement de Poiseuille

La vitesse moyenne s'écrit :

\[\begin{array}{l} \overline{w} = - \frac{1}{8 \mu} \frac{d P}{d z}R^2 \\ \mbox{on pose } \frac{d P}{d z} = -a \end{array}\]

La variation élémentaire de charge sur un élément de ligne de courant est égale à :

\[d H =- \frac{a}{\rho g} d z = -\frac{32 \mu \overline{w}^2}{\rho g D^2} d z = -\frac{64 v}{\overline{w}D} \frac{\overline{w}^2}{2 g} \frac{d z}{D}\]

L'intérêt de cette écriture est de mettre en évidence des nombres sans dimension :

\[R = \frac{\overline{w}}{v} D = \frac{\rho \overline{w}}{\mu} D \mbox{ Nombre de Reynolds}\]
\[\lambda = \frac{64}{R} \mbox{ Coefficient de perte de charge}\]

Le coefficient de perte de charge linéaire λ a cette expression uniquement pour les écoulements lents dits laminaires.

Entre deux points de la conduite, on a :

\[H_1- H_2 = \int_1^2 - \lambda \frac{\overline{w}^2}{2 g} \frac{d z}{D} = \int^2_1 - j d z\]

Nous verrons plus loin comment généraliser ces résultats en fonction du régime d'écoulement du fluide.

On peut calculer la puissance dissipée par frottement :

\(P = \Delta H.\rho.g.qV\)

Avec : P en watt

\(\Delta H\) en m

\(\rho\) en kg.m-3

\(q_V\) en m3.s-1

Définition

C'est un nombre sans dimension qui permet de fixer les limites d'application des modèles d'écoulement admettant un régime laminaire.

Pour une conduite circulaire de diamètre D le nombre de Reynolds s'écrit :

\[R = \frac{D \overline{w}}{v} = \frac{D \rho \overline{w}}{\mu}\]

Le nombre de Reynolds est proportionnel au rapport entre les forces d'inertie par les forces de viscosité.

Remarque

Pour un écoulement de forme quelconque, on remplace le diamètre D de la conduite par une grandeur caractéristique de l'écoulement (largeur d'un canal, envergure d'un profil d'aile..)

Mise en évidence des régimes d'écoulement